Question

【題目】如圖，設為內一點，直線、、與邊、、分別交于點、、．設分別以、為直徑的兩圓交于點、，分別以、為直徑的兩圓交于點、，分別以、為直徑的兩圓交于點、．證明：、、、、、六點共圓．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

首先證明：、、三線共點于，其中，為的垂心．

如圖，作于點，于點，于點．

則、、共點于，即的垂心．

由，知以、為直徑的圓均過點、．故為兩圓根軸．

類似地，以、為直徑的圓均過點、，為兩圓根軸；以、為直徑的圓均過點、，為兩圓根軸．

由根心定理，知、、三線共點，且與交于點．

故過點．

由、、、四點共圓．

類似地，、均過點，有，．

又，故、、、四點共圓于，、、、四點共圓于，、、、四點共圓于．

如圖，設、、的中點分別為、、，、、的中點分別為、、．

其次證明：、、三線共點．

因為，，所以，為的中垂線．

類似地，為的中垂線，為的中垂線．

故為與的交點，為與的交點，為與的交點．

又、、共點于，由塞瓦定理得．

再由塞瓦定理的逆定理，知、、三線共點．

因此，、、三點重合．

故、、、、、六點共圓．