Question

若數列{A_n}滿足A_n+1=A

2 n

，則稱數列{A_n}為“平方遞推數列”．已知數列{a_n}中，a₁=9，點{a_n，a_n+1}在函數f（x）=x²+2x的圖象上，其中n為正整數．
（Ⅰ）證明數列{a_n+1}是“平方遞推數列”，且數列{lg（a_n+1）}為等比數列；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中“平方遞推數列”的前n項積為T_n，即T_n=（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1），求lgT_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記b_n=

lgTn

lg(an+1)

，求數列{b_n}的前n項和S_n，并求使S_n＞2014的n的最小值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等比關系的確定,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）由已知條件推導出an+1=

a

2 n

+2an，由此能證明{a_n+1}是“平方遞推數列”，由lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），能證明{lg（a_n+1）}是以lg（a₁+1）為首項，2為公比的等比數列．
（II）解：由（I）知lg(an+1)=2n-1，由此能求出lgT_n的值．
（III）由bn=

lgTn

lg(an+1)

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，利用分組求和法能求出數列{b_n}的前n項和S_n，并求出使S_n＞2014的n的最小值．

解答： （I）證明：由題意得：an+1=

a

2 n

+2an，
即 an+1+1=(an+1)2，
則{a_n+1}是“平方遞推數列”，…（2分）
又有lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），
得{lg（a_n+1）}是以lg（a₁+1）為首項，2為公比的等比數列．…（4分）
（II）解：由（I）知lg(an+1)=lg(a1+1)•2n-1=2n-1，…（5分）
∴lgT_n=lg（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）
=lg（a₁+1）+lg（a₂+1）+…+lg（a_n+1）
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．…（8分）
（III）解：bn=

lgTn

lg(an+1)

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，…（9分）
Sn=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2+

1

2n-1

，…（10分）
又S_n＞2014，即2n-2+

1

2n-1

＞2014，n+

1

2n

＞1008，
又 0＜

1

2n

＜1，
∴n_min=1008．…（13分）

點評：本題考查平方遞推數列的證明，考查等比數列的證明，考查數列的前n項和的求法及應用，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．