Question

已知動點S過點T（0，2）且被x軸截得的弦CD長為4．
（1）求動圓圓心S的軌跡E的方程；
（2）設P是直線l：y=x-2上任意一點，過P作軌跡E的切線PA，PB，A，B是切點，求證：直線AB恒過定點M；
（3）在（2）的條件下，過定點M作直線：y=x-2的垂線，垂足為N，求證：MN是∠ANB的平分線．

Answer 1

解：（1）由題意，設S（x，y），則ST|²=2²+|y|²，即x²=4y，所以軌跡E的方程為x²=4y．
（2）設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），所以可得切線PA：，即
設P（t，t-2），P在PA上有，同理
故x₁，x₂是方程的兩根，從而有，∴AB的方程為：，故恒過定點（2，2）．
（3）過定點M作直線：y=x-2的垂線方程為x+y-4=0，從而垂足為N（3，1），MN的斜率為1，傾斜角為135⁰．
若AN．BN的斜率均存在，分別為k₁，k₂，傾斜角為α，β，要證MN是∠ANB的平分線，只需要證k₁k₂=1

設AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-2）+2代入x²=4y得x²-4kx+8k-8=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-8∴y₁+y₂=4k²-4k+4，y₁y₂=4k²-8k+4，代入得
當時，k₁k₂=1，當時，解得A，B兩點的坐標分別為，此時AN，BN的斜率一個不存在，一個為0，從而MN是∠ANB的平分線．
分析：（1）借助于圖象把已知條件轉化為|ST|²=2²+|y|²，就可求出圓心S的軌跡E的方程；
（2）先求切線方程，轉化為x₁，x₂是方程的兩根，從而得AB的方程，進而求出定點；
（3）若AN．BN的斜率均存在，分別為k₁，k₂，傾斜角為α，β，要證MN是∠ANB的平分線，只需要證k₁k₂=1，再說明斜率不存在時也成立即可．
點評：本題涉及到求軌跡方程問題．在求動點的軌跡方程時，一般是利用條件找到關于動點坐標的等式，整理可得所求方程．