Question

（2012•石家莊一模）在平面直角坐標系xOy中，已知定點A（-2，0）、B（2，0），M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，設動點M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II ）過定點T（-1，0）的動直線l與曲線C交于P，Q兩點，是否存在定點S（s，0），使得

SP

•

SQ

為定值，若存在求出s的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據定點A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，建立方程，化簡可得曲線C的方程；
（II ）當動直線l的斜率存在時，設動直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）與橢圓方程聯立，用坐標表示出

SP

•

SQ

=

(s2-4)(1+ 4s2+8s+1 s2-4 ×k2)

1+4k2

，要使存在定點S（s，0），使得

SP

•

SQ

為定值，則使

4s2+8s+1

s2-4

=4即可，再驗證斜率不存在情況也成立．

解答：解：（I）設M點坐標為（x，y）
∵定點A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，
∴

y

x+2

×

y

x-2

=-

1

4

∴

x2

4

+y2=1(x≠±2)
∴曲線C的方程為

x2

4

+y2=1(x≠±2)；
（II ）當動直線l的斜率存在時，設動直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）
由

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴

x1+x2=- 8k2 1+4k2 x1x2= 4k2-4 1+4k2

∵

SP

=(x1-s，y1)，

SQ

=(x2-s，y2)
∴

SP

•

SQ

=

(s2-4)(1+ 4s2+8s+1 s2-4 ×k2)

1+4k2

若存在定點S（s，0），使得

SP

•

SQ

為定值，則

4s2+8s+1

s2-4

=4
∴s=-

17

8

，此時定值為

33

64

當動直線l的斜率不存在時，P（-1，

3

2

），Q（-1，-

3

2

），可知s=-

17

8

時，

SP

•

SQ

=

33

64

綜上知，存在定點S（-

17

8

，0），使得

SP

•

SQ

為定值．

點評：本題考查軌跡方程的求解，考查存在性問題的探究，解題的關鍵是用坐標表示出

SP

•

SQ

，進而確定定值．