Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(為參數)，曲線C2的參數方程為(為參數)．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ＝α 與C1，C2 各有一個交點．當 α＝0時，這兩個交點間的距離為2，當 α＝時，這兩個交點重合．

(1) 求曲線C1，C2的直角坐標方程

(2) 設當 α＝時，l與C1，C2的交點分別為A1，B1，當 α＝－時，l與C1，C2的交點分別為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積．

Answer 1

【答案】（1）C1，C2的普通方程分別為x2＋y2＝1和＋y2＝1，（2）

【解析】

(1)令α＝0和α＝得a,b 值由參數方程與普通方程的互化求解得C1，C2的普通方程；（2）令α＝，得A1，B1的橫坐標，利用對稱性得A1，B1關于x軸對稱，得四邊形A1A2B2B1為等腰梯形，利用面積公式求解即可

由題C1 的普通方程為x2＋y2＝1；C2的普通方程為

當α＝0時，射線l與C1，C2交點的直角坐標分別為(1,0)，(a,0)，因為這兩點間的距離為2，所以a＝3.

當α＝時，射線l與C1，C2交點的直角坐標分別為(0,1)，(0，b)，因為這兩點重合，所以b＝1.

故C1，C2的普通方程分別為x2＋y2＝1和＋y2＝1，

（2）當α＝時，射線l與C1交點A1的橫坐標為x＝，與C2交點B1的橫坐標為x′＝.

當α＝－時，射線l與C1，C2的兩個交點A2，B2分別與A1，B1關于x軸對稱，因此四邊形A1A2B2B1為梯形．

故四邊形A1A2B2B1的面積為.