Question

（2012•煙臺一模）直線l與橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，已知

m

=（ax₁，by₁），

n

=（ax₂，by₂），若

m

⊥

n

且橢圓的離心率e=

3

2

，又橢圓經過點(

3

2

，1)，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率e=

3

2

，橢圓經過點(

3

2

，1)，建立方程組，求得幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）設l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合

m

•

n

=0可得方程，從而可求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）分類討論：①當直線AB斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=-y₂，利用

m

•

n

=0，A在橢圓上，可求△AOB的面積；②當直線AB斜率存在時，設AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合

m

•

n

=0可得△AOB的面積是定值．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率e=

3

2

，橢圓經過點(

3

2

，1)，∴

e= c a = a2-b2 a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

…2分
∴a=2，b=1
∴橢圓的方程為

y2

4

+x2=1…3分
（Ⅱ）依題意，設l的方程為y=kx+

3

由

y=kx+ 3 y2 4 +x2=1

，∴(k2+4)x2+2

3

kx-1=0
顯然△＞0，x1+x2=

-2 3k

k2+4

，x1x2=

-1

k2+4

…5分
由已知

m

•

n

=0得：a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+

3

)(kx2+

3

)=(4+k2)x1x2+

3

k(x1+x2)+3=(k2+4)(-

1

k2+4

)+

3

k•

-2 3 k

k2+4

+3=0
解得k=±

2

…6分．
（Ⅲ）①當直線AB斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵

m

•

n

=0，∴4

x

2 1

-

y

2 1

=0，
∵A在橢圓上，∴

4x12

4

+x12=1，∴|x1|=

2

2

，|y₁|=

2

∴S=

1

2

|x1||y1-y2|=1；
②當直線AB斜率存在時，設AB的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，可得（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0
△=4k²t²-4（k²+4）（t²-4）＞0，x₁+x₂=

-2kt

k2+4

，x₁x₂=

t2-4

k2+4

∵

m

•

n

=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0，∴4x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0
∴2t²-k²=4
∴S=

1

2

×

|t|

1+k2

|AB|=

|t| 4k2-4t2+16

k2+4

=

4t2

2|t|

=1
綜上，△AOB的面積是定值1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理進行求解．