Question

（2012•煙臺一模）定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx+3同時滿足以下條件：
①f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數； 
②f′（x）是偶函數；
③f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）設g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3ax²+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函數的奇偶性和切線方程能夠求出函數y=f（x）的解析式．
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x²-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x²+1，由此入手，結合題設條件，能夠求出實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，
∴f′（1）=3a+2b+c=0…①…（1分）
由f′（x）是偶函數得：b=0②…（2分）
又f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，f′（0）=c=-1③…（3分）
由①②③得：a=

1

3

，b=0，c=-1，
即f(x)=

1

3

x3-x+3…（4分）
（Ⅱ）由已知得：
若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1
設h（x）=4lnx-x²+1
m＞h_min，對h（x）求導，導數在（0，

2

）大于零，（

2

，e）小于零，即h（x）先遞增再遞減，
當x=

2

．m取最大值+∞，x=e 時，m取最小值5-e²．
∴實數m的取值范圍是（5-e²，+∞）．

點評：本題考查函數解析式的求法和求實數的取值范圍，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．