Question

給出以下幾個命題：
①由曲線y=x²與直線y=2x圍成的封閉區域的面積為

4

3

；
②已知點A是定圓C上的一個定點，線段AB為圓的動弦，若

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，O為坐標原點，則動點P的軌跡為圓；
③把5本不同的書分給4個人，每人至少1本，則不同的分法種數為A₅⁴•A₄¹=480種；
④若直線l∥平面α，直線l⊥直線m，直線l?平面β，則β⊥α．
其中，正確的命題有

 

．（將所有正確命題的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析：曲線y=x²與直線y=2x圍成的封閉區域的面積為A，則利用定積分求出即可；

解答：解：聯立曲線y=x²與直線y=2x得：x=0，y=0；x=2，y=4．設y=x²與直線y=2x圍成的封閉區域的面積為A，
則∫₀²2x-x²dx=x²-

1

3

x³|₀²=

4

3

，所以①正確；
根據圖象設AB的中點為Q，根據向量求和法則求出

1

2

(

OA

+

OB

)，由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)得

OQ

的軌跡為圓，②正確；
把5本不同的書分給4個人，每人至少1本，則不同的分法種數為c₅⁴•c₅¹=25，③錯；
顯然若直線l∥平面α，直線l⊥直線m，直線l?平面β，β不一定垂直于α，④錯；
故答案為①②

點評：考查學生利用定積分求圖形面積的能力，排列數公式的推導能力，圓的軌跡方程的求法，以及平面與平面垂直的判斷能力．