Question

已知函數f(x)自變量取值區間A，若其值域區間也為A，則稱區間A為f(x)的保值區間．

(1)求函數f(x)＝x²形如[n，＋∞)(n∈R)的保值區間；

(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值區間是[2，＋∞)，求m的取值范圍．

Answer 1

(1)[0，＋∞)或[1，＋∞)　(2)－1

解析　(1)若n<0，則n＝f(0)＝0，矛盾．

若n≥0，則n＝f(n)＝n²，解得n＝0或1.

所以f(x)的保值區間為[0，＋∞)或[1，＋∞)．

(2)因為g(x)＝x－ln(x＋m)的保值區間是[2，＋∞)，

所以2＋m>0，即m>－2.

令g′(x)＝1－>0，得x>1－m.

所以g(x)在(1－m，＋∞)上為增函數，

同理可得g(x)在(－m,1－m)上為減函數．

若2≤1－m即m≤－1時，

則g(1－m)＝2得m＝－1滿足題意．

若m>－1時，則g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．

所以滿足條件的m值為－1.