Question

設f （x） 是定義在R上的偶函數，其圖像關于直線x = 1對稱．對任意x₁，x₂∈都有f （x₁＋x₂） = f （x₁） ? f （x₂）．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）證明f （x） 是周期函數；

Answer 1

（Ⅰ）解：由f （x₁＋x₂） = f （x₁） ? f （x₂），x₁ x₂∈[0，]知

                f （） ? f （）≥0，x∈[0，1]．                   

∵ f （） = f （） ? f （） = [f （）]²，

                ，

∴ f （）．                                                 

∵ f （），

                f （），

∴ f （）．                                                 

（Ⅱ）證明：依題設y = f （x）關于直線x = 1對稱，

故 f （x） = f （1＋1－x），

即f （x） = f （2－x），x∈R．

又由f （x）是偶函數知f （－x） = f （x） ，x∈R，

∴ f （－x） = f （2－x） ，x∈R，

將上式中－x以x代換，得f （x） = f （x＋2），x∈R．

這表明f （x）是R上的周期函數，且2是它的一個周期．