Question

設f（x）是定義在[a，b]上的函數，用分點T：a=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…x_n=b將區間[a，b]任意劃分成n個小區間，如果存在一個常數M＞0，使得和

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M（i=1，2，…，n）恒成立，則稱f（x）為[a，b]上的有界變差函數．
（1）函數f（x）=x²在[0，1]上是否為有界變差函數？請說明理由；
（2）設函數f（x）是[a，b]上的單調遞減函數，證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數；
（3）若定義在[a，b]上的函數f（x）滿足：存在常數k，使得對于任意的x₁、x₂∈[a，b]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤k•|x₁-x₂|．證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數．

Answer 1

分析：（1）利用函數在[0，1]是增函數，去掉絕對值，將連和符號用函數值的和表示出，求出值為，取M大于等于此值，滿足有界變差函數的定義
（2）利用函數為減函數，將連和符號中的絕對值符號去掉，將連和用函數值的差表示出，求出連和的值，將M取此值，滿足有界變差函數的定義．
（3）利用已知不等式，將函數值差的連和表示成自變量差的連和，去掉絕對值，將連和寫成自變量差的和形式，求出連和的值，找到M，滿足有界變差函數的定義．

解答：解：（1）∵f（x）=x²在[0，1]上是增函數∴對任意劃分Tf（x_n）＞f（x_n-1）
|f（x_i）-f（x_i-1）|=f（x₁）-f（x₀）+…+f（x_n）-f（x_n-1）=f（1）-f（0）=1
取常數M≥1，則和式

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M（i=1，2，3…n）恒成立
所以函數f（x）在[0，1]是有界變差函數
（2）∵函數f（x）是[a，b]上的單調遞減函數
任意的劃分T，Ta=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b
∴

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1=f( )|x0)-f(x1)+f(x1)-f(x2)+..+f(xn-1)+f（x_n）
∴一定存在一個常數M＞0，使f（a）-f（b）≤M
故f（x）為[a，b]上有界變差函數
∵|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|
∴對任意的劃分T，a=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤k|x1-x2|=k

n

i=1

|x1-x2|=k（b-a）
取常數M=k（b-a）
由有界變差函數定義知f（x）為有界變差函數．

點評：本題考查理解題中的新定義、判斷一個函數是否是有界變差函數，關鍵是求出函數差的連和，找出M．