Question

已知△ABC三內角A、B、C所對的邊a，b，c，且

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

．
（1）求∠B的大小；
（2）若△ABC的面積為

3 3

4

，求b取最小值時的三角形形狀．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理化簡

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

得出

cosB

cosC

=

sinB

2sinA-sinC

，進而得到2sinAcosB=sin（B+C），再根據B+C=π-A得，2sinAcosB=sinA，從而求出cosB，得出答案；
（2）首先利用由S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

acsin60°=

3 3

4

得， ac=3，然后利用均值不等式b²=a²+c²-2accos60°≥2ac-ac=ac=3，求得即b≥

3

，b的最小值

3

，判斷三角形為正三角形．

解答：解：（1）由

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

得

a2+c2-b2 2ac

a2+b2-c2 2ab

=

b

2a-c

∴

cosB

cosC

=

sinB

2sinA-sinC

，2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，
即2sinAcosB=cosBsinc+sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C），
由B+C=π-A得，2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

， ∠B=60°．
（2）由S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

acsin60°=

3 3

4

得， ac=3，
∴b²=a²+c²-2accos60°≥2ac-ac=ac=3，當且僅當a=c=

3

時取等號，
即b≥

3

，故當b取最小值

3

時，三角形為正三角形．

點評：本題考查了正弦定理以及三角形的判斷，（2）問要注意均值不等式的利用，屬于中檔題．