Question

已知△ABC三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a，b，c面積為S且滿足2S=c²-（a-b）²和a+b=2．
（1）求sinC的值；
（2）求三角形面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理關(guān)于面積的公式代入題中等式化簡整理，可得a²+b²-c²=ab（2-sinC），再結(jié)合余弦定理代入得2-sinC=
2cosC，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可解出sinC=

4

5

；
（2）由基本不等式，得ab≤（

a+b

2

）²=1，再用正弦定理關(guān)于面積的公式即可求出當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，△ABC面積S的最大值為

2

5

．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得
∵S=

1

2

absinC，且2S=c²-（a-b）²
∴c²-（a-b）²=absinC，化簡得a²+b²-c²=ab（2-sinC）
∵根據(jù)余弦定理，得a²+b²-c²=2abcosC，
∴2-sinC=2cosC，與sin²C+cos²C=1消去cosC，
得

5

4

sin²C-sinC=0，
∵C是三角形內(nèi)角，得sinC是正數(shù)
∴

5

4

sinC-1=0，解之得sinC=

4

5

；
（2）∵邊a、b滿足a+b=2
∴ab≤（

a+b

2

）²=1，得ab的最大值為1（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)）
因此，△ABC面積S=

1

2

absinC≤

1

2

sinC=

2

5

∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，△ABC面積S的最大值為

2

5

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形ABC滿足的邊角關(guān)系，求sinA的值并求三角形面積的最大值，著重考查了利用正余弦定理解三角形、基本不等式求最值和同角三角函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．