Question

已知△ABC的面積S滿足4≤S≤4

3

，且

AB

•

AC

=-8．
（Ⅰ）求角A的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f(x)=cos2

x

4

-2sin2

x

4

+3

3

sin

x

4

•cos

x

4

，求f（A）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數量積的定義求出 |

AB

|•|

AC

|=

-8

cosA

，再由S=

1

2

|

BA

|•|

AC

|•sinA，可得-

3

≤tanA≤-1，根據A為三角形的內角，求出A∈[

2π

3

，

3π

4

]．
（Ⅱ）利用，二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡f（A）的解析式為3sin(

A

2

+

π

6

)-

1

2

，可得當

A

2

+

π

6

=

π

2

時，f（A）取得最大值

5

2

．

解答：解：（Ⅰ）∵

AB

•

AC

=-8，∴

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosA=-8，∴|

AB

|•|

AC

|=

-8

cosA

①．
∵S=

1

2

|

BA

|•|

AC

|•sinA②，將①代入②得S=-4tanA，由4≤S≤4

3

，得-

3

≤tanA≤-1，
又A∈（0，π），∴A∈[

2π

3

，

3π

4

]．
（Ⅱ）f(A)=cos2

A

4

-2sin2

A

4

+3

3

sin

A

4

•cos

A

4

=

1

2

(1+cos

A

2

)-(1-cos

A

2

)+

3 3

2

sin

A

2

=

3 3

2

sin

A

2

+

3

2

cos

A

2

-

1

2

=3(

3

2

sin

A

2

+

1

2

cos

A

2

)-

1

2

=3(sin

A

2

cos

π

6

+cos

A

2

sin

π

6

)-

1

2

=3sin(

A

2

+

π

6

)-

1

2

，
當

A

2

+

π

6

=

π

2

，即A=

2π

3

時，sin(

A

2

+

π

6

)取得最大值，同時，f（A）取得最大值

5

2

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，二倍角公式的應用，兩角和的正弦公式，正弦函數的定義域和值域，化簡f（A）的解析式，是解題的關鍵．