Question

設(3x-

x

)n的展開式的各項系數絕對值之和為M，二項式系數之和為N，若M-N=240，則展開式中x的有理項的項數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據二項式定理，可得(3x-

x

)n的展開式的通項為T_r+1=（-1）^rC_n^r•3^n-r•xn-

3r

2

，即可得各項系數的絕對值，進而可得M=C_n⁰•3ⁿ+C_n¹•3^n-1+C_n²•3^n-2+…+C_nⁿ•3⁰=（3+1）^r=4ⁿ，又由題意，可得4ⁿ-2ⁿ=240，解可得n的值，可得其展開式的通項公式，分析x的指數可得答案．

解答：解：根據題意，(3x-

x

)n的展開式的通項為T_r+1=C_n^r•（3x）^n-r•（-

x

）^r=（-1）^rC_n^r•3^n-r•xn-

3r

2

；
則第r+1項系數的絕對值為|T_r+1|=C_n^r•3^n-r，
M=C_n⁰•3ⁿ+C_n¹•3^n-1+C_n²•3^n-2+…+C_nⁿ•3⁰=（3+1）^r=4ⁿ，
其展開式的二項式系數之和為N=2ⁿ，
又由M-N=240，可得4ⁿ-2ⁿ=240，
解可得2ⁿ=16，則n=4；
則(3x-

x

)n的展開式的通項為T_r+1=（-1）^rC₄^r•3^4-r•x

8-3r

2

；
分析可得，r=0、2、4時，T_r+1為有理項，
則展開式中x的有理項的項數為3；
故選C．

點評：本題考查二項式定理的應用，難點在于得到各項系數絕對值的表達式，進而由二項式定理求出M的值．