Question

某校課外興趣小組的學(xué)生為了給學(xué)校邊的一口被污染的池塘治污，他們通過(guò)實(shí)驗(yàn)后決定在池塘中投放一種能與水中的污染物質(zhì)發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑．已知每投放個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時(shí)間（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．

(Ⅰ)若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？

(Ⅱ)若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）有效治污的時(shí)間可達(dá)8天； （Ⅱ）的最小值為1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先由可得在水中釋放的濃度再分別分段求出水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)的天數(shù)，從而得出有效治污的時(shí)間可達(dá)8天；  

（Ⅱ）先得出模型當(dāng)時(shí)，，然后由基本不等式知，再由，解得，即的最小值為1 .

試題解析：（I）∵   ∴．                  2分

當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)．        4分

綜上，得．故若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污的時(shí)間可達(dá)8天．6分

（II）當(dāng)時(shí)，，9分

又 ，  ，則．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).

令，解得 ，故所求的最小值為1 ．              14分

考點(diǎn)：1.函數(shù)模型的應(yīng)用；2.基本不等式的應(yīng)用