Question

某校課外興趣小組的學(xué)生為了給學(xué)校邊的一口被污染的池塘治污，他們通過(guò)實(shí)驗(yàn)后決定在池塘中投放一種能與水中的污染物質(zhì)發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑．已知每投放m（1≤m≤4，且m∈R）個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=m•f（x），其中f（x）=

16 8-x ，0≤x≤4 5- 1 2 x，4＜x≤10

若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．
（Ⅰ）若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？
（Ⅱ）若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放m個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求m的最小值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)一次投放4個(gè)單位的藥劑，結(jié)合分段函數(shù)，建立不等式，即可求出有效治污時(shí)間；
（Ⅱ）根據(jù)第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放m個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，建立函數(shù)解析式，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答：解：（I）∵m=4，∴y=

64 8-x (0≤x≤4) 20-2x(4＜x≤10)

．                  …（2分）
當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由

64

8-x

≥4，解得x≥-8，此時(shí)0≤x≤4；
當(dāng)4＜x≤10時(shí)，由20-2x≥4，解得x≤8，此時(shí)4＜x≤8．        …（4分）
綜上，得0≤x≤8．故若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污的時(shí)間可達(dá)8天．…（6分）
（II）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y=2×(5-

1

2

x)+m[

16

8-(x-6)

]=10-x+

16m

14-x

=14-x+

16m

14-x

-4，…（9分）
又14-x∈[4，8]，m∈[1，4]，則y≥2

16m

-4=8

m

-4．
當(dāng)且僅當(dāng)14-x=

16m

14-x

，即14-x=4

m

∈[4，8]時(shí)取等號(hào)．
令8

m

-4≥4，解得m≥1，
故所求m的最小值為1．                    　　　　　　    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．