Question

如圖，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C－DE－A的大小．

Answer 1

（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，F(xiàn)，G分別為DC，BC中點(diǎn)，
得到平面ABC⊥平面BCD，
G為 BC中點(diǎn)，且AC=AB，推出AG⊥BC，從而AG⊥平面BCD， EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）二面角C－DE－A的大小為 

試題分析：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，

∵F，G分別為DC，BC中點(diǎn)，
∴FG∥BD且FG＝BD，又AE∥BD且AE＝BD，
∴AE∥FG且AE＝FG，∴四邊形EFGA為平行四邊形，
∴EF∥AG，∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
BD⊥平面ABC，又∵DB平面BCD，
平面ABC⊥平面BCD，∵G為 BC中點(diǎn)，且AC=AB，
∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．              6分
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O和DE的中點(diǎn)H，分別以、、所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，．
設(shè)面CDE的法向量，則
取，         8分
取面ABDE的法向量，          10分
由，
故二面角C－DE－A的大小為．                12分
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。