Question

【題目】已知函數f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．
（1）若函數y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；
（3）求證：當a＞4時，函數y=f（x）只有一個零點．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）=2lnx+x2﹣ax，f′（x）= +2﹣a，

由題意，對任意的x＞0，都有f′（x）= +2﹣a≥0，

只要（ +2x）min≥a，由 +2x≥2 =4，當且僅當x=1時取等號，

則a≤4，

∴實數a的取值范圍是（﹣∞，4]；

（2）當a=e，f（x）=2lnx+x2﹣ex，f′（x）= +2﹣e= ＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

由f（e）=2lne+e2﹣e2=2，

∴f（x）＜2，則f（x）＜f（e），

∴0＜x＜e，

故不等式f（x）＜2的解集為（0，e）；

（3）證明：由f′（x）= +2﹣a= ，x∈（0，+∞），

g（x）=2x2﹣ax+2，當a＞4時，△=a2﹣16＞0，

∴g（x）=2x2﹣ax+2一定有兩個零點，

設x1，x2（x1＜x2），x1x2=1，

0＜x1＜1＜x2，

則f（x）在區間（0，x1），（x2，+∞）上單調遞增，在（x1，x2）上單調遞減，

g（x1）=2x12﹣ax1+2=0，

∴f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1=2lnx1+x12﹣2，

由0＜x1＜1，則f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1＜2ln1+1﹣2＜0，

∴f（x2）＜f（x1）＜0，

由f（x）=2lnx+x（x﹣a），則f（a）=2lna＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上只有一個零點．

【解析】（1）將函數在定義域上的單調性轉化為導數函數的不等式，再利用基本不等式求得a的取值范圍；（2）求得函數值為2的自變量，進而將函數值的大小比較利用函數的單調性變為自變量的大小比較，從而求得所給不等式的解集；（3）函數f（x）在（0，+∞）上只有一個零點，那么f（x）在定義域分成的兩個連續的區間內分別大于0和小于0.
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．