Question

橢圓E：=1（a＞b＞0）離心率為，且過P（，）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知直線l過點M（-，0），且與開口朝上，頂點在原點的拋物線C切于第二象限的一點N，直  線l與橢圓E交于A，B兩點，與y軸交與D點，若=，，且λ+μ=，求拋物線C的標準方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用離心率計算公式、點在橢圓上及a，b，c的關系可得，解出即可；
（2）設拋物線C的方程為y=ax²（a＞0），直線與拋物線C切點為．利用導數的幾何意義可得切線的斜率，進而得到切線方程，即可得到切點N，進一步簡化切線方程，把直線l的方程與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，再利用已知向量關系式=，，且λ+μ=，即可得到a及拋物線C的標準方程．
解答：解．（1）由題意可得，解得，
∴橢圓E的方程為．
（2）設拋物線C的方程為y=ax²（a＞0），
直線與拋物線C切點為．
∵y′=2ax，∴切線l的斜率為2ax，
∴切線方程為，
∵直線l過點M，∴，
∵點N在第二象限，∴x＜0，
解得x=-1．∴N（-1，a）．
∴直線l的方程為y=-2ax-a．
代入橢圓方程并整理得：代入橢圓方程整理為（1+16a²）x²+16a²x+4a²-8=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴，．
由，，
∴，．
∴λ+μ===．
∵，∴，又a＞0，解得．
∴拋物線C的標準方程為，其標準方程為．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為根與系數的關系、直線與拋物線相切問題、導數的幾何意義、向量的運算等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．