Question

如圖所示，已知A、B、C是橢圓E：=1（a＞b＞0)上的三點，其中點  

A的坐標為（2，0）,BC過橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.

（1）求點C的坐標及橢圓E的方程；

（2）若橢圓E上存在兩點P、Q，使得∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，試判斷向量與是否共線，并給出證明.

Answer 1

（1）C（，）, =1 （2）向量與向量共線

解析:

（1）∵|BC|=2|AC|，且BC經過O（0，0）,

∴|OC|=|AC|.又A（2，0），∠ACB=90°,

∴C（，）,                                                         3分

∵a=2，將a=2及C點坐標代入橢圓方程得

=1,∴b²=4,

∴橢圓E的方程為:=1.                                                                  7分

（2）對于橢圓上兩點P、Q，∵∠PCQ的平分線總垂直于x軸，∴PC與CQ所在直線關于直線x=對稱，設直線PC的斜率為k，則直線CQ的斜率為-k，

∴直線PC的方程為y-=k(x-),

即y=k(x-)+.                                                                             ①

直線CQ的方程為y=-k(x-)+,                               ②           10分

將①代入=1,

得(1+3k²)x²+6k(1-k)x+9k²-18k-3=0,                                               ③

∵C(,)在橢圓上，∴x=是方程③的一個根.

∴x_P·=，∴x_P=，同理可得,x_Q=,

∴k_PQ==.                                                      14分

∵C（，），∴B（-，-），

又A（2，0），∴k_AB==，                                                          15分

∴k_AB=k_PQ，∴向量與向量共線.                                                      16分