Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，E為BC中點，求證：AE⊥PD．

Answer 1

證：設

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AP

=

c

，
∵PA⊥平面ABCD，
∴

a

•

c

=0，

b

•

c

=0，
∵∠ABC=60°，四邊形ABCD為菱形，
∴

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos∠BAD=|

b

|²•cos120°
=-

1

2

|

b

|²．

AE

=

AB

+

BE

=

a

+

1

2

b

，

PD

=

PA

+

AB

+

BC

+

CD

=-

c

+

a

+

b

-

a

=

b

-

c

，

AE

•

PD

=（

a

+

1

2

b

）•（

b

-

c

）
=

a

•

b

+

1

2

|

b

|²-

a

•

c

-

1

2

b

•

c

=-

1

2

|

b

|²+

1

2

|

b

|²=0，
∴

AE

⊥

PD

，
∴AE⊥PD．