Question

已知M是△ABC內一點，且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB，△MAC的面積分別為

1

2

，x，y，則

1

x

+

1

y

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：解：由

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°利用向量的數量積可得|

AB|

•|

AC

| =4
 由 S△ABC=

1

2

|

AB

||

AC

|sin30°=1可得x+y=

1

2

而

1

x

+

1

y

=2×(

x+y

x

+

x+y

y

)=4+2(

y

x

+

x

y

)利用基本不等式可求．

解答：解：由

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°
可得|

AB

|• |

AC

|cos30°=2

3

∴|

AB|

•|

AC

| =4
∴S△ABC=

1

2

|

AB

||

AC

|sin30°=1
即x+y+

1

2

=1
∴x+y=

1

2

則

1

x

+

1

y

=2×(

x+y

x

+

x+y

y

)=4+2(

y

x

+

x

y

)≥4+2•2

y x • x y

=8
故答案為：8

點評：本題主要考查了向量的數量積的定義，三角形的面積公式，及利用基本不等式求解函數的最值，要注意在解題中等號成立的條件的檢驗．