Question

12、給定下列四個命題：
（1）給定空間中的直線l及平面α，“直線l與平面α內無數條直線垂直”是“直線l與平面α垂直”的充分不必要條件；
（2）已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件；
（3）已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β；
（4）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB₁C₁C的中心，則AD與平面BB₁C₁C所成角的大小是60°．
上述命題中，真命題的序號是（　　）

A、（1）（2）

B、（2）（4）

C、（2）（3）（4）

D、（1）（2）（3）（4）

Answer 1

分析：真假命題的判斷，若為真必須給出充分的理由，而說明其為假命題，只需要列舉反例即可．

解答：解：對于（1），由“直線l與平面α內無數條直線都垂直”不能確定“直線l與平面α垂直”，如當l?α時，直線l可與平面α內無數條相互平行的直線都垂直，但此時直線l不與平面α垂直；反過來，由“直線l與平面α垂直”可知“直線l與平面α內無數條直線都垂直”．綜上所述，“直線l與平面α內無數條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的必要不充分條件．故（1）不正確．
對于（2），當α⊥β時，平面α內的直線m不一定和平面β垂直，但平面α內的射線m垂直于平面β時，根據線面垂直的判定定理，兩個平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．故（2）正確．
對于（3），α，β也可能平行或一般的相交（不一定垂直），故（3）不正確．
對于（4），如圖是三棱柱ABC-A₁B₁C₁，不妨設各棱長為1．取BC的中點E，連接AE，DE，∵CC₁⊥底面ABC，∴側面BB₁C₁C⊥底面ABC，又E為BC的中點，且△ABC為正三角形，∴AE⊥BC，由兩平面垂直的性質定理知，AE⊥平面BB₁C₁C，∴∠ADE的大小就是AD與平面BB₁C₁C所成角的大小．容易計算∠ADE=60°．故（4）正確．

故選B．

點評：立體幾何結論的推斷必須借助于幾何圖形及相應的定理及性質