Question

【題目】.已知點，，動點滿足條件.記動點的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）若是上的不同兩點，是坐標原點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據雙曲線的定義可知軌跡為雙曲線的右支，從而可得軌跡方程；（2）當直線斜率不存在時，可求得；當直線斜率存在時，假設直線方程，代入可整理得到一元二次方程；根據有兩個正實根可構造出不等式組，求得斜率；將利用坐標運算表示為符合韋達定理的形式，代入整理后，結合可求得；綜合兩種情況可得所求最小值.

（1）

由雙曲線定義可知：點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支

，，

的方程為：

（2）①當直線斜率不存在時，設直線方程為：

此時，

②當直線斜率存在時，設直線方程為：

代入雙曲線方程可得：

可知上式有兩個不等的正實數根

解得：

由得：

綜上所述，的最小值為