Question

【題目】如圖，已知雙曲線的兩條漸近線分別為.為坐標原點，動直線分別交直線于兩點(分別在第一四象限)，且的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】存在，雙曲線的方程為：

【解析】

當軸時，利用三角形面積公式，結合題意求出雙曲線的方程，再利用一元二次方程根與系數的關系，結合三角形面積公式，證明當直線與軸不垂直時，該雙曲線也滿足條件即可.

設雙曲線的方程為，設直線與軸相交于點.

當軸時，若直線與雙曲線有且只有個公共點，則.又因為的面積為8，所以，因此，解得，

雙曲線的一條漸近線方程為：，即，

此時雙曲線的方程為.

若存在滿足條件的雙曲線，則的方程只能為.

以下證明：當直線與軸不垂直時，雙曲線也滿足條件.

設直線的方程為，依題意，得或，則，

記.得，同理得.由，

得，即，

由得.因為，

所以.又因為，所以，即與雙曲線有且只有一個公共點.

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