Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是邊長是1的正方形，M，N分別是AB，PC的中點；
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：BC⊥平面PCD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：

分析：（1）做DC的中點E，連接ME，NE，通過中位線的性質證明出NE∥PD，EM∥AD，進而根據線面平行的判定定理分別證明出NE，EM平行面面ADP，進而根據面面平行的判定定理證明出面MNE∥面ADP，繼而根據面面平行的性質證明出MN∥平面PAD．
（2）先分別證明出BC⊥CD，PD⊥BC，進而根據線面垂直的判定定理證明出BC⊥平面PCD．

解答： 證明：（1）做DC的中點E，連接ME，NE，
∵M，N，E，均為中點，
∴NE∥PD，EM∥AD，
∵PD?平面PAD，AD?平面PAD，AD∩PD=D，
∴面MNE∥面ADP，
∵MN?面MNE，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC⊥CD，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD．

點評：本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理的應用．考查了學生對線面平行，線面垂直判定定理的記憶．