Question

【題目】徐州市為加快新老城區的融合并進一步緩解交通壓力，現經過食品城至新城區（昆侖大道）和食品城至高速入口（迎賓大道），分別修建地鐵2號線和快速通道，如圖，已知兩條公路夾角為60°，為了便于施工擬在兩條公路之間的區域內建一混凝土攪拌站P，并分別在兩條公路邊上建兩個中轉站M、N (異于點A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．

(1)

(2)問為多大時，使得混凝土攪拌站產生的噪聲對食品城的影響最小(即攪拌站與食品城的距離最遠)．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)設計∠AMN為60時，混凝土攪拌站產生的噪聲對食品城的影響最小．

【解析】試題分析：（1）根據正弦定理，即可θ表示AM;（2）根據三角函數的圖象和性質，即可求出函數的最值．

試題解析：

（1）因為∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．

因為MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ．

（2）在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．

由（1）知AM＝sin(120°－θ)

所以AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP

＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ) cos(60°＋θ)

＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4

＝ [1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4…

＝－ [sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)．

當且僅當2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

答：設計∠AMN為60時，混凝土攪拌站產生的噪聲對食品城的影響最小．