Question

（2012•上饒一模）已知F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，A是橢圓短軸上的一個頂點，橢圓的離心率為

1

2

，點B在x軸上，AB⊥AF，A、B、F三點確定的圓C恰好與直線x+

3

y+3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設O為橢圓的中心，是否存在過F點，斜率為k（k∈R，l≠0）且交橢圓于M、N兩點的直線，當從O點引出射線經過MN的中點P，交橢圓于點Q時，有

OM

+

ON

=

OQ

成立．如果存在，則求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出直線AB的方程，從而確定圓心與半徑r=a，利用圓C恰好與直線x+

3

y+3=0相切，建立方程，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）假設k存在，將直線方程代入橢圓方程，求出P的坐標，利用

OM

+

ON

=2

OP

且

OM

+

ON

=

OQ

，可得Q的坐標，代入橢圓方程，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設A為橢圓的上頂點，則∵e=

1

2

，∴c=

1

2

a，∴b=

3

2

a
∴F(-

1

2

a，0)，A(0，

3

2

a)
∴kAF=

3 2 a-0

0-(- 1 2 a)

=

3

，∴kAB=-

3

3

∴lAB：y=-

3

3

x+

3

2

a
令y=0，∴x=

3

2

a，∴B(

3

2

a，0)
∴圓心為(

1

2

a，0)，半徑r=a
∴圓心到直線x+

3

y+3=0的距離d=

1 2 a+3

2

=a
∴a=2，∴b=

3

，∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（Ⅱ）假設k存在，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）
由

y=k(x+1) 3x2+4y2=12

，消去y可得：（3+4k²）x²+8k²x+（4k²-12）=0…（8分）
∴x1+x2=-

8k2

3+4k2

，∴xP=

x1+x2

2

=-

4k2

3+4k2

，yP=k(xp+1)=

3k

3+4k2

又∵

OM

+

ON

=2

OP

且

OM

+

ON

=

OQ

∴

OQ

=2

OP

，∴

x0=2xp= -8k2 3+4k2 y0=2yp= 6k 3+4k2

…（11分）
又∵

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，∴3(-

8k2

3+4k2

)2+4(

6k

3+4k2

)2=12
∴3×64k⁴+4×36k²=12（4k²+3）²
∴16k⁴+12k²=16k⁴+24k²+9
∴12k²+9=0，∴k無實數解，
∴不存在…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，確定點的坐標是關鍵．