Question

【題目】已知函數(shù)，．若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與的圖象也相切．

（1）求的方程和的值；

（2）設(shè)不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)，再求得，寫出切線的方程，設(shè)直線與的圖象相切于點(diǎn)，，由求解.

（2）將不等式，對(duì)任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為，對(duì)任意的恒成立，記，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值，由求解.

（1），

所以，

故切線的方程為，

即：，

設(shè)直線與的圖象相切于點(diǎn)，，

由題意可得，解得．

（2）由，得不等式為，

等價(jià)于不等式，

記，

，

令得或．

①當(dāng)時(shí)，（舍去），所以．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以恒成立，

故，此時(shí)的取值范圍是．

②當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，即，

解得，可得此時(shí)的取值范圍是．

綜合①②可知，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．