Question

【題目】正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F是側面CDD1C1上的動點，且B1F∥平面A1BE，記B1與F的軌跡構成的平面為α.

①F，使得B1F⊥CD1

②直線B1F與直線BC所成角的正切值的取值范圍是[，]

③α與平面CDD1C1所成銳二面角的正切值為2

④正方體ABCD﹣A1B1C1D1的各個側面中，與α所成的銳二面角相等的側面共四個.

其中正確命題的序號是_____.（寫出所有正確的命題序號）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

分別取CC1和C1D1的中點為M，N，連接MN、MB1、NB1，然后利用面面平行的判定定理證明平面MNB1∥平面A1BE，從而確定平面MNB1就是平面α.

當F為線段MN的中點時，可證明①；

②利用平移的思想，將直線B1F與直線BC所成角轉化為B1F與B1C1所成的角，由于B1C1⊥平面MNC1，所以tan∠FB1C1即為所求，進而求解即可；

③平面MNB1與平面CDD1C1所成的銳二面角即為所求，也就是求出tan∠B1QC1即可；

④由正方體的對稱性和二面角的含義即可判斷.

解：如圖所示，

設正方體的棱長為2，分別取CC1和C1D1的中點為M，N，連接MN、MB1、NB1，則MN∥A1B，MB1∥EA1，

∵MN、MB1平面MNB1，A1B、EA1平面A1BE，且MN∩MB1＝M，A1B∩EA1＝A1，

∴平面MNB1∥平面A1BE，

∴當F在MN上運動時，始終有B1F∥平面A1BE，即平面MNB1就是平面α.

對于①，當F為線段MN的中點時，∵MB1＝NB1，∴B1F⊥MN，∵MN∥CD1，∴B1F⊥CD1，即①正確；

對于②，∵BC∥B1C1，∴直線B1F與直線B1C1所成的角即為所求，

∵B1C1⊥平面MNC1，C1F平面MNC1，∴B1C1⊥C1F，

∴直線B1F與直線B1C1所成的角為∠FB1C1，且tan∠FB1C1，

而FC1的取值范圍為，B1C1＝2，所以tan∠FB1C1∈[，]，即②正確；

對于③，平面MNB1與平面CDD1C1所成的銳二面角即為所求，

取MN的中點Q，因為B1C1⊥平面MNC1，所以∠B1QC1就是所求角，

而tan∠B1QC1，即③正確；

對于④，由對稱性可知，與α所成的銳二面角相等的面有平面BCC1B1，平面ADD1A1，平面A1B1C1D1，平面ABCD，即④正確.

故答案為：①②③④.