Question

點P為圓O：x²+y²=a²（a＞0）上一動點，PD⊥x軸于D點，記線段PD的中點M的運動軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若動直線l與曲線C交于A、B兩點，當△OAB（O是坐標原點）面積取得最大值，且最大值為1時，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定P，M坐標之間的關系，利用P是圓上的動點，代入x²+y²=a²，即可得曲線C的方程；
（Ⅱ）分類討論：①當l斜率不存在時，可得S_△OAB最大值為

a2

4

；②當l斜率存在時，表示出三角形的面積，利用基本不等式，可得S_△OAB的最大值為

a2

4

，由已知得

a2

4

=1，從而可求a的值．

解答：解：（Ⅰ）設P（x₀，y₀），M（x，y），由

x=x0 y= 1 2 y0

，得

x0=x y0=2y

，…（2分）
代入x²+y²=a²，得 

x2

a2

+

y2

a2 4

=1．…（4分）
（Ⅱ）①當l斜率不存在時，設x=t，由已知得-a＜t＜a，
由

x2+4y2=a2 x=t

，得y2=

a2-t2

4

所以S△OAB=

1

2

×2|y|×|x|=|t|•

a2-t2

2

=

(a2-t2)t2

2

≤

a2

4

，
當且僅當t²=a²-t²，即|t|=

2

2

a時，等號成立．
此時S_△OAB最大值為

a2

4

．…（5分）
②當l斜率存在時，設其方程為y=kx+m，
由

x2+4y2=a2 y=kx+m

，消去y整理得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-a²=0，
△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-a²）=4[4k²+a²-4m²]
由△＞0，得4k²a²+a²-4m²＞0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則  x1+x2=

-8km

4k2+1

，x1x2=

4m2-a2

4k2+1

②…（7分）

|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] = (1+k2)[( -8km 4k2+1 )2-4• 4m2-a2 4k2+1 ] = 2 4k2+1 • (1+k2)[a2(1+4k2)-4m2]

③
原點到直線l距離為 d=

|m|

1+k2

，④…（9分）
由面積公式及③④得

S△OAB= 1 2 ×|AB|d= 1 2 • 2 4k2+1 • (1+k2)[a2(1+4k2)-4m2] |m| 1+k2

= 1 2 • 4m2 1+4k2 (a2- 4m2 1+4k2 ) ≤ 1 2 • 4m2 1+4k2 +(a2- 4m2 1+4k2 ) 2 = a2 4 ，

…（11分）
綜合①②，S_△OAB的最大值為

a2

4

，由已知得

a2

4

=1，所以 a=2．…（12分）

點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查三角形面積的計算，考查分類討論的數學思想，考查基本不等式的運用，正確表示三角形的面積是關鍵．