Question

【題目】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 ．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面積為2，求b．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）sin（A+C）=8sin2 ，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB= ；
（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，
∵S△ABC= acsinB=2，
∴ac= ，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× ×
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．
【解析】（Ⅰ）利用三角形的內角和定理可知A+C=π﹣B，再利用誘導公式化簡sin（A+C），利用降冪公式化簡8sin2 ，結合sin2B+cos2B=1，求出cosB，
（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，利用勾面積公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
【考點精析】利用二倍角的正弦公式和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二倍角的正弦公式：；余弦定理:;;．