Question

【題目】（分）已知橢圓的左焦點為，過的直線與交于、兩點．

（）求橢圓的離心率．

（）當直線與軸垂直時，求線段的長．

（）設線段的中點為，為坐標原點，直線交橢圓交于、兩點，是否存在直線使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 存在直線，使得．

【解析】

試題分析：（1）將橢圓方程化為標準方程，求得a，b，c，進而得到離心率；（2）當直線l與x軸垂直時，即為x=﹣1，代入橢圓方程，求得縱坐標，進而得到弦長；（3）設直線AB：x=my﹣1，代入橢圓方程，可得（3+2m2）y2﹣4my﹣4=0，運用韋達定理，以及中點坐標公式可得P的坐標，再由向量共線的坐標表示，解方程可得m，進而判斷存在這樣是直線l．

解析：

（）橢圓，

即為，可得，，，

故橢圓的離心率．

（）當直線與軸垂直時，即為，代入橢圓方程可得，，

故線段的長為．

（）由，設直線，代入橢圓方程得，

設，，則，

即有中點的坐標為，

直線，代入橢圓方程可得：，

可設，，

假設存在直線使得，

即有，

則，解得，

故存在直線，使得．