Question

（1）曲線C：y=ax³+bx²+cx+d在（0，1）點處的切線為l₁：y=x+1在（3，4）點處的切線為l₂：y=-2x+10，求曲線C的方程；（2）求曲線S：y=2x-x³的過點A（1，1）的切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數f（x）的導數，根據y=f（x）在點（x1，f（x1））處的切線的斜率等于在該點的導數值可得答案
（2）過這一點的切線和在這點的切線要區分開來，應先設出切點坐標．
解答：解：（1）已知兩點均在曲線C上．∴
∵y'=3ax²+2bx+cf^/（0）=cf^/（3）=27a+6b+c
∴，可求出
∴曲線C：
（2）設切點為P（x，2x-x³），則斜率k=f'（x）=2-3x²，過切點的切線方程為：y-2x+x³=（2-3x²）（x-x）
∵過點A（1，1），
∴1-2x+x³=（2-3x²）（1-x）
解得：x=1或，
當x=1時，切點為（1，1），切線方程為：x+y-2=0
當時，切點為，切線方程為：5x-4y-1=0
點評：本題是對導數幾何意義的深度考查．也是近兩年來高考的在導數這部分的考查內容．