Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，a，b∈R
（1）曲線C：y=f（x）經過點P（1，2），且曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，求a，b的值．
（2）已知f（x）在區間（1，2）內存在兩個極值點，求證：0＜a+b＜2．

Answer 1

分析：（1）根據曲線y=f（x）經過P（1，2），所以該點坐標適合曲線方程，又曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，所以f^′（1）=2，聯立兩方程可求得a，b的值；
（2）要使f（x）在區間（1，2）內存在兩個極值點，則有f^′（x）=0在在（1，2）上有兩個不等實數根，根據三個二次的關系列式，通過整理變形可以得到要整的結論．

解答：解：（1）由f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，得：f^′（x）=x²+2ax+b
因為y=f（x）經過點P（1，2），所以有

1

3

×13+a×12+b=2，即3a+3b-5=0 ②
又曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，所以f^′（1）=2a+b+1=2，即2a+b-1=0   ①
聯立①②得：a=-

2

3

，b=

7

3

；
（2）因為函數f（x）在區間（1，2）內存在兩個極值點，所以導函數對應的二次方程x²+2ax+b=0在（1，2）
上有兩個不等實數根，則

△=(2a)2-4b＞0 -2＜a＜-1 1+2a+b＞0 4+4a+b＞0

把

-2＜a＜-1 1+2a+b＞0

相加得a+b＞0，
由△＞0得b＜a²，
則a+b＜a+a2=(a+

1

2

)2-

1

4

＜2，則結論得證．

點評：本題考查了利用導數研究函數極值及函數切線方程問題，考查了數學轉化思想，訓練了求求曲線在某點的切線方程的方法及如何讓運用三個二次的結合解決二次方程在給定區間上根的問題，對基本運算進行了考查．