Question

已知在等邊三角形ABC中，點P為線段AB上一點，且

AP

=λ

AB

(0≤λ≤1)．
（1）若等邊三角形邊長為6，且λ=

1

3

，求

|CP

|；
（2）若

CP

•

AB

≥

PA

•

PB

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）據向量模的平方等于向量的平方求向量的模，利用向量的數量積法則求向量的平方；
（2）向量的數量積等于兩向量的模和它們夾角余弦的乘積得不等式，解不等式．

解答：解：（1）當λ=

1

3

時，

AP

=

1

3

AB

，

CP

2=(

CA

+

AP

)2=

CA

2+2

CA

•

AP

+

AP

2=62-2×6×2×

1

2

+22=28．
∴|

CP

|=2

7

；
（2）設等邊三角形的邊長為a，
則

CP

•

AB

=(

CA

+

AP

)•

AB

=(

CA

+λ

AB

)•

AB

=-

1

2

a2+λa2，

PA

•

PB

=

PA

•(

AB

-

AP

)=λ

AB

•(

AB

-λ

AB

)=-λa2+λ2a2
即-

1

2

a2+λa2≥-λa2+λ2a2，
∴λ2-2λ+

1

2

≤0，
∴

2- 2

2

≤λ≤

2+ 2

2

．
又0≤λ≤1，
∴

2- 2

2

≤λ≤1．

點評：本題考查向量模的求法：向量模的平方等于向量的平方；考查向量的數量積法則及解不等式．