Question

【題目】已知在橢圓上，為右焦點，軸，為橢圓上的四個動點，且，交于原點.

（1）判斷直線與橢圓的位置關系；

（2設，滿足，判斷的值是否為定值，若是，請求出此定值，并求出四邊形面積的最大值，否則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）直線與橢圓相切或相交.（2）的值是定值，；

【解析】

（1）將直線變形，可確定直線所過定點的坐標，可得該定點坐標在橢圓上，即可判斷出直線與橢圓的位置關系.

（2）先根據條件，求得橢圓的標準方程.討論直線的斜率情況可知當斜率不存在或斜率為0時不滿足.進而設直線的方程為，聯立橢圓方程，利用韋達定理及等式，化簡即可求得的值，確定為定值；由點到直線距離公式求得，利用弦長公式求得，即可用表示出，由二次函數性質求得的最大值，并根據即可求得的最大值.

（1）直線，

將直線方程化簡變形可得，

因為，令，解得 ，

所以直線過定點，

而由在橢圓上，可知直線與橢圓相切或相交.

（2）在橢圓上，軸，

由橢圓性質可得 ，

則解得 ，

所以橢圓的標準方程為，

因為，，為橢圓上的四個動點且，交于原點.

所以，，

當直線的斜率不存在時，不滿足，因而直線的斜率一定存在.

當直線斜率存在且為0時，不滿足，所以直線的斜率一定存在且不為0.

設直線的方程為.

則，化簡可得，

所以，

因為，

所以，

則，

整理可得，

解得.

由題意可知的位置等價，所以不妨設，則，

則，

即為定值.

直線的方程為.即

則點到直線的距離為

因為

代入可得

則由弦長公式可得

所以

當時取等號.而時滿足.

所以

此時

故四邊形面積的最大值的最大值為4