Question

【題目】已知函數的定義域為，其中為常數；

（1）若，且是奇函數，求的值；

（2）若， ，函數的最小值是，求的最大值；

（3）若，在上存在個點 ，滿足， ，

，使得，

求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：（1）因為函數為奇函數，根據奇函數定義可得可得對任意恒成立，變形可得對任意恒成立，可求；(2)將函數的解析式討論去掉絕對值號， 。兩段函數的對稱軸都為，因為。討論 與-1的大小，可得兩段二次函數在區間上的單調性，求得最小值。得最小值，求兩段的取值范圍，取較大的為最大值。（3）由（2）可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以，由絕對值不等式可得，所以，整理得，解得為所求.

試題解析：解：(1)∵是奇函數，∴對任意恒成立，

∴，即對任意恒成立，∴；

(2)

，

∵，∴，∴，

①當時， ， 在上遞減，在遞增，

②當時， ， 在上單調遞增，

綜上所述， ，

若，則；若，則

∴當時，

(3)∵，且在上單調遞增，在上單調遞減，

∴

而

要使滿足條件的點存在，必須且只需，即，解得為所求.