Question

【題目】已知函數f（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5．
（1）求函數f（x）在[0，3]上最大值；
（2）若函數f（x）在[0，3]上有零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，函數f（x）的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線 ．

當 ，即 時，f（x）max=f（3）=7k+26．

當 ，即 時，f（x）max=f（0）=k+5．

綜上： .

（2）解：1°當函數f（x）在[0，3]上有兩相同的零點時： ，

解得k=﹣2．

2°當函數f（x）在[0，3]上有兩不同的零點時： ，

解得 .

3°當函數f（x）有兩個不同零點且在[0，3]上僅有一個零點時：

由零點存在定理得：f（0）f（3）≤0，解得 ．

而當k=﹣5時，f（x）=3x2﹣12x，此時該函數的零點為0和4，符合要求．

綜上：﹣5≤k≤﹣2.

解法2：函數f（x）在[0，3]上有零點等價于方程3x2+2（k﹣1）x+k+5=0在[0，3]上有解

即k（2x+1）=﹣（3x2﹣2x+5）

所以

令t=2x+1∈[1，7]，則 在[1，3]單調遞增，在[3，7]單調遞減

所以k∈[﹣5，﹣2]．

【解析】（1）由已知，函數f（x）的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線 ，分類討論，即可求出函數f（x）在[0，3]上最大值；（2）分類討論函數f（x）在區間[0，3]上有兩相同的零點、兩不同的零點、函數f（x）有兩個不同零點且在[0，3]上僅有一個零點，根據函數性質組成不等式組求解即可．或利用分離參數求最值的方法求解．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．