Question

【題目】已知函數.

（1）證明：在上單調遞減，在上單調遞增；

（2）記函數的最小值為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）的最大值為2.

【解析】

（1）由定義法,分別設和兩種不同情況時,計算的正負即可；

（2）分別計算在和時的最小值,更小的那個即為函數的最小值,再分不同情況時將的函數解析式表示出,畫圖即可求出的最大值.

（1）設,

又∵,

∴.

當時,,

∴.

當時,,

∴.

即在上單調遞減,在上單調遞增.

（2）由（1）得,在時的最小值為.

由∵當時,二次函數的對稱軸為,

由題意可得,時,.

∴當a≥0時, 在(－∞,0]上遞減,故在(－∞,0]上的最小值為, f(x)在(0,＋∞)上的最小值為f(1)＝3－a；

∵,

∴.

當a＜0時,f(x)在(－∞,0]上的最小值為f(a)＝1,f(x)在(0,＋∞)上的最小值為f(1)＝3－a；

∵,

∴.

即,

所以M(a)在(－∞,0)上為常數函數,在(0,1)上是增函數,在(1,＋∞)上是減函數,作出M(a)的函數圖象如圖所示：

所以M(a)的最大值為2.