Question

【題目】對于區間，若函數同時滿足：①在上是單調函數；②函數， 的值域是，則稱區間為函數的“保值”區間．

（）求函數的所有“保值”區間．

（）函數是否存在“保值”區間？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）在的值域是，且，所以，所以，從而結合單調性列方程求解即可；

（2）分和兩種情況分別在定義域上求值域列方程求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）因為函數的值域是，且在的值域是，

所以， 所以，從而函數在區間上單調遞增，

故有解得．

又，所以．

所以函數的“保值”區間為．

（）若函數存在“保值”區間，則有：

①若，此時函數在區間上單調遞減，

所以 ，消去得，整理得．

因為，所以，即．

又， 所以．

因為，

所以．

②若，此時函數在區間上單調遞增，

所以，消去得，整理得．

因為，所以，即．

又，所以．

因為，

所以．

綜合①、②得，函數存在“保值”區間，此時的取值范圍是．