Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n是二項式（1+2x）²ⁿ（n∈N^* ）展開式中含x奇次冪的系數和．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設f（n）=，求f（0）+f（）+f（）+…+f（）；
（3）證明：++…+≥（1-）．

Answer 1

【答案】分析：（1）記（1+2x）²ⁿ=a+a₁x+…+a_2nx²ⁿ，利用賦值可分別令x=1得：3²ⁿ=a+a₁+…+a_2n，令x=-1得：1=a-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n兩式相減得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1），從而可求
（2）由（1）可得，注意到f（n）+f（1-n）=，從而可考慮利用倒序相加求和即可
（3）由=
=，故可以利用裂項求和先求和，然后利用二展開式進行放縮可證
解答：解：（1）記（1+2x）²ⁿ=a+a₁x+…+a_2nx²ⁿ
令x=1得：3²ⁿ=a+a₁+…+a_2n
令x=-1得：1=a-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n
兩式相減得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）
∴（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4×9^n-1
當n=1時，a₁=S₁=4，適合上式
∴a_n=4×9^n-1（4分）
（2）
注意到=（6分）
令
則T=
∴
故，即f（0）+f（）+f（）+…+f（）=（8分）
（3）=
= （n≥2）（10分）
∴
=（12分）
∵9ⁿ-1=（8+1）ⁿ-1=C_n¹×8+C_n²×8²+…+C_nⁿ8ⁿ=8（4n²-3n）
從而可得，++…+≥（1-）．（14分）
點評：本題主要考查了利用賦值法求二項展開式的系數，及數列求和中的倒序相加、裂項求和等方法的應用，還要注意放縮法在證明不等式中的應用．