Question

已知二項式(x-

m

x

)6展開式中不含x的項為-160；設f1(x)=

m

1+x

，定義fn+1(x)=f1[fn(x)]，an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n，Qn=

4n2+n

4n2+4n+1

，其中n∈N^*，試比較9T_2n與Q_n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）二項式(x-

m

x

)6展開式中不含x的項為-160，寫出通項公式，令x的系數為0，求出m．
（2）f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]是一種遞推關系，故求數列{a_n}的通項公式可通過探求a_n+1和a_n之間的關系求解．
（3）由（2）可知數列{a_n}是等比數列，故求T_2n要采用錯位相減法，求出后，
要與Qn比較大小，可先取n=1，2，3時觀察結果，猜測結論，再用數學歸納法證明．

解答：解：（Ⅰ）Tr+1=

C

R 6

x6-r(-

m

x

)r=

C

r 6

(-m)rx6-2r，因6-2r=0，得r=3；C₆³（-m）³=-160得m=2．
（Ⅱ）a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

2-1

2+2

=

1

4

，∵fn+1(x)=f1[fn(x)]∴fn+1(x)=

2

1+fn(x)

∵an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，，∴an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

•

fn(0)-1

fn(0)+2

=-

1

2

an，
則數列{a_n}是以

1

4

為首項，-

1

2

為公比的等比數列．∴an=

1

4

•(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n+1(n∈N*)，
（Ⅲ）S2n=1×(-

1

2

)2+2×(-

1

2

)3++2n•(-

1

2

)2n+1
(-

1

2

)S2n=1×(-

1

2

)3+2×(-

1

2

)4++2n•(-

1

2

)2n+2
兩式相減得：S2n=

1

9

(1-

4n+1

4n

)，
又∵Qn=1-

3n+1

(2n+1)2

，
比較9T_2n與Q_n的大小，就是比較4ⁿ與（2n+1）²的大小：
當n=1時，4¹=4，（2×1+1）²=9，即4ⁿ＜（2n+1）²
當n=2時，4²=16，（2×2+1）²=25，即4ⁿ＜（2n+1）²
當n=3時，4³=64，（2×3+1）²=49，即4ⁿ＞（2n+1）²
猜測當n≥3時，有4ⁿ＞（2n+1）²
下面用數學歸納法證明：（1）當n=3時顯然成立；
（2）設當n=k時猜想成立，即4^k＞（2k+1）²，
那么當n=k+1時，4^k+1=4^k•4＞4•（2k+1）²，
又∵4•（2k+1）²-[2（k+1）+1]²=（6k+5）（2k-1）＞0（k≥3），∴4^k+1＞[2（k+1）+1]²，
所以當n=k+1時猜想也成立．
綜上所述：對于一切大于3的正整數都有4ⁿ＜（2n+1）²．
所以，當n=1、2時9S_2n＜Q_n，當n≥3時，9S_2n＞Q_n．

點評：數列綜合題和立體幾何以及解析幾何大題，每年出現，年年有變化．因此，對數列綜合題應進行系統探究，思考數列可能與哪些分支的知識綜合考查．不過，數列與不等式的綜合，是一種比較常見的題型，不可忽視．尤其數列不等式采用分類和數學歸納法等工具來處理的新題不可小視．