Question

已知(1+m

x

)n（m是正實數）的展開式的二項式系數之和為256，展開式中含x項的系數為112．
（1）求m，n的值；
（2）求展開式中奇數項的二項式系數之和；
（3）求(1+m

x

)n(1-x)的展開式中含x²項的系數．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 2ⁿ=256，由此解得n=8．再根據含x項的系數為

C

2 8

m2=112，求得m的值．
（2）展開式中奇數項的二項式系數之和為 

C

1 8

+

C

3 8

+

C

5 8

+

C

7 8

，再根據 二項式系數的性質求得結果．
（3）(1+2

x

)8(1-x)=(1+2

x

)8-x(1+2

x

)8，可得含x²的系數為

C

4 8

24-

C

2 8

22，運算求得結果．

解答：解：（1）由題意可得 2ⁿ=256，解得n=8．…（3分）
含x項的系數為

C

2 8

m2=112，…（5分）
解得m=2，或m=-2（舍去）．
故m，n的值分別為2，8．…（6分）
（2）展開式中奇數項的二項式系數之和為

C

1 8

+

C

3 8

+

C

5 8

+

C

7 8

=28-1=128． …（9分）
（3）(1+2

x

)8(1-x)=(1+2

x

)8-x(1+2

x

)8，…（11分）
所以含x²的系數為

C

4 8

24-

C

2 8

22=1008．…（15分）

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，屬于中檔題．