Question

某企業為擴大生產規模，今年年初新購置了一條高性能的生產線，該生產線在使用過程中的設備維修、燃料和動力等消耗的費用（稱為設備的低劣化值）會逐年增加，第一年設備低劣化值是4萬元，從第二年到第七年，每年設備低劣化值均比上年增加2萬元，從第八年開始，每年設備低劣化值比上年增加25%．
（1）設第年該生產線設備低劣化值為，求的表達式；
（2）若該生產線前年設備低劣化平均值為,當達到或超過12萬元時，則當年需要更新生產線，試判斷第幾年需要更新該生產線，并說明理由.

Answer 1

（1）；（2）第九年.

試題分析：（1）可知時，構成等差數列；時構成等比數列.然后由條件即可得出的表達式，注意寫出分段函數的形式；（2）先寫出即的表達式，然后判定其單調性，得出是增函數，從而求出時的取值范圍.所以得到第九年需要更新該生產線.
試題解析：（1）當時，數列是首項為4，公差為2的等差數列，
                             3分
當時，數列是首項為，公比為的等比數列，又，
 
的表達式為                         6分
（2）設表示數列的前項和，由等差及等比數列的求和公式得
當時，
當時，由
該生產線前n年設備低劣化平均值為 9分
當時，數列為單調遞增數列；
當時，，
所以為單調遞增數列.                                              11分
又則第九年需要更新該生產線.   13分