Question

已知定義在區間（0，+∞）上的函數f（x）滿足：對?x₁，x₂∈（0，+∞）恒有f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）證明：函數f（x）在區間（0，+∞）上為單調遞減函數；
（3）若f（3）=-1，
（ⅰ）求f（9）的值；（ⅱ）解不等式：f（3^x）＜-2．

Answer 1

分析：（1）根據題意和式子的特點，先令x₁=x₂=1求出f（1）=0；
（2）先任取x₂＞x₁＞0，再代入所給的式子進行作差變形，利用

x2

x1

＞1且 f(

x2

x1

)＜0，判斷符號并得出結論；
（3）根據題意，把不等式轉化為f（3^x）＜f（9），再由（2）的結論知3^x＞9，故解此不等式即可．

解答：解：（1）由題意知，對定義域內的任意x₁，x₂都有f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)
令x₁=x₂=1，代入上式解得f（1）=0，
（2）設x₂＞x₁＞0，則 f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)
∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數．
（3）∵f（3）=-1，∴f（9）=f（3）+f（3）=-2，
∴不等式f（3^x）＜-2可化為f（3^x）＜f（9），
又∵函數在（0，+∞）上是減函數，∴3^x＞9，
即3^x＞3²，解得：x＞2，
即不等式的解集為 （2，+∞）．

點評：本題的考點是抽象函數的性質及其應用，根據證明函數奇偶性和單調性的方法，反復給x₁和x₂值利用給出恒等式，注意條件的利用；求解不等式時利用函數的奇偶性及條件轉化為兩個函數值的關系，進而由函數的單調性轉化為自變量的大小．