Question

13、已知定義在區間（0，+∞）的非負函數f（x）的導數為f'（x），其滿足xf'（x）+f（x）＜0，則在0＜a＜b時，下列結論一定正確的是

（2）（3）

．
（1）af'（a）＜bf'（b）（2）af（a）＞bf（b）（3）bf（a）＞af（b）（4）bf'（a）＞af'（b）

Answer 1

分析：（2）抽象出函數g（x）=xf（x），根據題意可得g′（x）＜0故g（x）在在區間（0，+∞）是減函數．所以af（a）＞bf（b）．
（3）因為f（x）＞0，x＞0且xf'（x）+f（x）＜0，所以可得f′（x）＜0．所以f（x）是減函數．進而結合不等式的性質得到bf（a）＞af（b）．
（1）（4）我們只能判斷f'（a）＜0，f'（b）＜0而并不能判斷f'（a）與f'（b）的大小，所以af'（a）與bf'（b）、bf'（a）與af'（b）的大小不能判斷．

解答：解：設g（x）=xf（x）所以g′（x）=xf'（x）+f（x）＜0，所以g（x）在在區間（0，+∞）是減函數．因為0＜a＜b所以af（a）＞bf（b）．故（2）正確．
因為f（x）是定義在區間（0，+∞）的非負函數，并且xf'（x）+f（x）＜0所以f′（x）＜0．所以f（x）是定義在區間（0，+∞）的減函數．因為0＜a＜b所以f（a）＞f（b），所以bf（a）＞af（b）．故（3）正確．
對于（1）（4）我們只知道0＜a＜b且f'（a）＜0，f'（b）＜0而并不能判斷f'（a）與f'（b）的大小，所以af'（a）與bf'（b）、bf'（a）與af'（b）的大小不能判斷．故（1）（4）不正確．
故答案為（2）（3）．

點評：解決此題的根據判斷出xf（x）的導數即xf'（x）+f（x），由題知此導數小于0，結合函數與導數之間的關系可得函數xf（x）為單調遞減函數．再結合函數f（x）是非負函數進一步可得f（x）是減函數，即可得到答案．