Question

線段|BC|=4，BC中點為M，點A與B，C兩點的距離之和為6，設|AM|=y，|AB|=x．
（Ⅰ）求y=f（x）的函數表達式及函數的定義域；
（Ⅱ）設d=y+x-1，試求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分類討論：A，B，C不共線時，根據三角形中線的性質可求得2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²，進而利用兩點間的距離公式代入等式中求得x和y的關系式；A，B，C三點共線時，|AB|+|AC|=6＞|BC|推斷出A在線段BC外側，利用|6-x-x|=4求得x的值，代入2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²也符合，從而可得函數f（x）的解析式，利用根號大于等于0的性質求得x的范圍即函數的定義域．
（Ⅱ）確定函數解析式，利用導數的方法，即可求d的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當A、B、C三點不共線時，由三角形中線性質知2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²，
代入得2（2²+y²）=x²+（6-x）²，
又y≥0，得y=

(x-3)2+5

；…（4分）
當A，B，C三點共線時，由|AB|+|AC|=6＞|BC|=4，可知A在線段BC外側，
由|6-x-x|=4，可得x=1或x=5，因此，當x=1或x=5時，有|AB|+|AC|=6，
同時也滿足：2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²．
當A． B．C不共線時，||AB|-|AC||＜|BC|=4，可知1＜x＜5，…（6分）
從而y=f(x)=

(x-3)2+5

定義域為[1，5]．…（7分）
（Ⅱ）∵y=

(x-3)2+5

，∴d=y+x-1=

(x-3)2+5

+x-1．
令t=x-3，由1≤x≤5知，t∈[-2，2]，d=

t2+5

+t+2，
兩邊對t求導得：dt=1+

1

t2+5

≥1+

-2

9

＞0，
∴d關于t在[-2，2]上單調遞增．
∴當t=2時，d_min=3，此時x=1；當t=2時，d_max=7．此時x=5．
故d的取值范圍為[3，7]．…（15分）

點評：本題考查了兩點間的距離公式的應用，考查函數思想的運用，考查導數知識的運用，考查了學生分析問題和解決問題的能力．