Question

線段|BC|=4，BC中點為M，點A與B，C兩點的距離之和為6，設|AM|=y，|AB|=x．
（1）求y=f（x）的函數表達式及函數的定義域；
（2）試求y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先看A，B，C不共線時，根據三角形中線的性質可求得2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²，進而利用兩點間的距離公式代入等式中求得x和y的關系式，再看A，B，C三點共線時，|AB|+|AC|=6＞|BC|推斷出A在線段BC外側，利用|6-x-x|=4求得x的值，代入2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²也符合，最后綜合可得函數f（x）的解析式，利用根號大于等于0的性質求得x的范圍即函數的定義域．
（2）把（1）函數的解析式，利用二次函數的性質和函數的定義求得y的最大和最小值．

解答：解：（1）當A、B、C三點不共線時，由三角形中線性質知2（|BM|²+|AM|²）=|AB|2+|AC|2?2(22+y2)=x2+(6-x)2?

y2=5+(x-3)2 又y≥0

?y=

(x-3)2+5

；
當A，B，C三點共線時，由|AB|+|AC|=6＞|BC|=4?A在線段BC外側，
由|6-x-x|=4?x=1或x=5，因此，當x=1或x=5時，有|AB|+|AC|=6，
同時也滿足：2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²．當A、B、C不共線時，||AB|-|AC||＜|BC|=4?1＜x＜5?y=f(x)=

(x-3)2+5

定義域為[1，5]．
（2）由y=

(x-3)2+5

且x∈[1，5]，
∴當x=3時，ymin=

5

．當x=1或5時，ymax=

22+5

=3．
∴y的取值范圍為[

5

，3]．

點評：本題主要考查了兩點間的距離公式的應用，函數思想的運用，二次函數的性質以及分類討論的思想的運用．綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力．